Tipos de errores:

 Todos los resultados de la aplicación de métodos numéricos van acompañados de un error que es conveniente estimar.

En muchas ocasiones esto no es posible hacerlo de un modo cuantitativo, en otras, en cambio, pueden llevarse a cabo análisis de errores que pueden ser:

·     a priori, cuando no se utilizan los resultados en el análisis, que puede llegar a ser muy complejo (recordar, p. ej., las expresiones del error de una simple división basadas en las del cálculo diferencial), y

·         a posteriori, cuando se utilizan los propios resultados en el análisis de los errores.

Es conveniente tener presente en todo momento cuáles son las fuentes de los errores, lo que puede ser una ayuda definitiva a la hora de resolver eventuales problemas prácticos, si bien es cierto que éstas actúan siempre juntas, haciendo muy difícil el conocimiento detallado de la contribución de cada una en cada caso.

Fuentes de error

Son tres que dan lugar a una clasificación de los errores de acuerdo con ellas:

·         Inherentes.

Asociado a la precisión de los datos de imputa. (P. Ej. El uso de 0.333333 en lugar de 1/3.) Su característica principal es que se propaga al output. Esta propagación puede estudiarse mediante análisis de sensibilidad, que permiten detectar hipersensibilidades de los resultados hacia variables específicas en rangos particulares, de modo que puedan tomarse precauciones especiales en esos casos.

Cuando existe una magnificación inaceptable del error se dice que el problema está mal condicionado. Los errores de input son causantes de imprecisión en los resultados.

·         Truncamiento.

Asociado a la substitución de procesos infinitos por procesos finitos, tales como el truncamiento de series, el uso se sumas limitadas para el cálculo de integrales o el uso de diferencias finitas para el cálculo de derivadas. Los errores de truncamiento causan inexactitud de los resultados.

  Cuando se comparan unos métodos numéricos con otros suelen estudiarse algunas propiedades asociadas con los errores, en estos casos es al error de truncamiento al que se refiere,  exponente, que se expresa en función de algún parámetro conveniente, h, que tiende a 0 (o a infinito ) cuando el error es nulo.

 Es frecuente comparar:

Convergencia:

e(h)= 0       Cuandoh=0

·        Redondeo.

Asociado a la precisión limitada con la que se realizan las operaciones (cifras significativas). Su mayor peligro radica en su tendencia a acumularse.

CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES

ERRORES INHERENTES.

Son aquellos errores cometidos por la persona al tomar los datos de lecturas de instrumentos de medición, al pasar éstos datos a la computadora o bien por verdaderas equivocaciones por el manejo de los datos.

 

ERRORES POR REDONDEO.

Es aquel tipo de error en donde el número significativo de dígitos después del punto decimal se ajusta a un número específico provocando con ello un ajuste en el último dígito que se toma en cuenta.

ERRORES POR TRUNCAMIENTO.

Para llevar a cabo operaciones de algunas funciones matemáticas los compiladores ejecutan estas funciones utilizando series infinitas de términos, pero es difícil llevar a cabo estos cálculos hasta el infinito, por lo tanto la serie tendrá que ser truncada.

            __

X  =  X  +  Ex 

Donde

X  =  cantidad verdadera

 __

  X  =  cantidad aproximada

Ex =  error absoluto

                      __

Ex =   |X – X |

El error absoluto de una cantidad es igual al valor absoluto de la diferencia entre la cantidad absoluta y su aproximación incluye sus unidades fisicas.

 

FORMA RELATIVA.

El error relativo de una cantidad cualquiera es igual al cociente de el error absoluto entre la cantidad verdadera, generalmente expresado como porcentaje ya que no tiene unidades.

                                                         __

                            Erx  =  Ex / X  @  Ex / X

EJEMPLO:

Dos cantidades al ser medidas nos dan los siguientes resultados:

Error absoluto                   error relativo

   A = ( 100 + 1 )m                Ea = 1m                Era = Ea = 1m  = 0.01 = 1%

                                                                                        X    100m

  B = (  8 + 0.8 )ft                  Eb = 0.8ft          Erb = Eb = 0.8ft =  0.1 = 10%

                                                                                    B       8ft   

PROPAGACIÓN DEL ERROR.

Se dice que existe una propagación en los errores cuando al realizar operaciones con números que ya tienen errores y que por su naturaleza  y las operaciones generan  nuevos errores.

Normalmente se efectúan en las operaciones aritméticas, (no importa cual sea su orígen).

 

PROPAGACIÓN DE LA SUMA.

                                  Error absoluto

   X = X + Ex                                              X+Y = (X+Ex) + (Y+Ey)

   Y = Y + Ey                                              X+Y = (X+Y) + (Ex+Ey)

                                                                   (X+Y)-(X+Y)  =  Ex + Ey

                                                                    Ex+y = Ex + Ey

                                  Error relativo

                                                    Erx+y = Ex+y =  Ex + Ey

                                                                   X+Y       X + Y

PROPAGACIÓN DE LA RESTA.

      Error absoluto                                     Error relativo

      X – Y  = (X+Ex) –  (Y+Ey)                       Erx-y = Ex-y = Ex-Ey

      X – Y = (X – Y ) + (Ex-Ey)                                    X – Y   X – Y                 

    ( X – Y ) – ( X – Y )  =  Ex – Ey

 Ex-y = Ex – Ey

PROPAGACIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN.

      Error absoluto                                      Error relativo

      X*Y = (X+Ex)*(Y+Ey)                         Erxy = XEy+YEx

      X*Y = XY+XEy+YEx+ExEy                                  XY

      XY-XY  =  XEy + YEx                          Erxy = XEy + YEx

      Exy = XEy + YEx                                                XY      XY

                                                                       Erxy = Ex + Ey

                                                                               X      Y

PROPAGACIÓN DE LA DIVISIÓN.

      Error absoluto                                       Error relativo

      X = X+Ex                                                          Ex – XEy 

      Y   (Y+Ey)                                              Erx =   Y      Y    = Ex – Ey

      X = X + Ex – XEy – ExEy                           y          X             X     Y

      Y    Y      Y      Y        Y                                           Y

      X – X  =  Ex – Xey  = Ex                         Erx  = Ex – Ey

      Y    Y       Y      Y          y                             y      X     Y


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